Det finnes mange slags funksjoner, men eksponentialfunksjonen er nok blant de artigste. De er enkle å beskrive, og enkle å forstå. Men likevel kan det være så overveldende å ta inn over seg hva de egentlig vil fortelle oss. Derfor er det ikke rart at de i mange år har vært en del av matematikkpensumet som alle skal igjennom. Men nå viser det seg vel at ikke alt man har vært igjennom har vært like enkelt å fatte, så dermed har vi havnet i den litt pussige situasjonen at nesten hele verden går på tomgang mens vi venter på, ser på, og diskuterer tall, uten å se at de ligger som perler på en eksponentialfunksjon.
Eksponentialfunksjoner skrives på denne måten.
Her kaller vi A for roten, og x for eksponenten, mens f(x) er navnet på funksjonen der vi putter inn verdier for x, og får ut et resultat.
For å forklare hvordan eksponentialfunksjonen virker, så er det nærliggende å ta et eksempel. La oss feks si at A er 2, mens x er en teller. Hvis vi feks sier at vi teller ruter på et sjakkbrett, får vi muligheten til å le litt av den kinesiske keiseren som synes forslaget til belønning var helt innenfor, da han ble bedt om å legge et riskorn i den første ruten, og så doble antall riskorn for hver rute i sjakkbrettet. Formelen for antall riskorn f(x), i rute nummer x, blir da som følger
Det starter ganske pent ut med rundt 250 riskorn i rute nr 8
Det er mulig at han begynte å skjønne tegningen da han la drøyt 65000 riskorn i rute 16, og fortsatt hadde 3/4 av brettet å fylle. 4.3 milliarder skal få plass i rute 32, og keiseren har fortsatt et halvt sjakkbrett å fylle.
I den siste ruten skal det drøyt 18000000000000000000 riskorn, eller som vi skriver på standardform1.81019. Det er ganske mange riskorn, og det er ikke rart at finansministeren til denne keiseren ble litt grinete da han fikk i oppgave å betale ut denne summen.
Jeg prøvde å plotte dette i geogebra, men det viser seg altså at aksene, i likhet med den kinesiske keiserens skattkammer, ikke strekker seg så langt.
Hva kan vi lære av den uforstandige keiseren?
Kontekstualisering er et viktig verktøy i arbeidet med gamle tekster. Hva kan vi lære av den uforstandige keiseren? Hvordan er dette relevant for oss i dag?
Et virus som sprer seg i en ubeskyttet befolkning oppfører seg sørgelig likt riskornene på et sjakkbrett. La oss si at hver smittet person bruker 5 dager på å smitte 5 nye personer. Formelen for dette kan vi skrive slik
Grafen over, som viser utviklingen de første 15 dagene, skremmer kanskje ikke. Etter 5 dager har vi 5 smittede, etter 10 dager 25, og etter 15 dager 125. Men dersom vi, som keiseren, ser litt lengre frem, så ser det ikke like bra ut.
Med denne smittetakten, vil viruset klare å spre seg til hele jordens befolkning på mindre enn 70 dager. Det får selv Jules Vernes "Jorden rundt på 80 dager" til å blekne. Dette er naturligvis en forenkling som forutsetter at ingen har immunitet mot viruiset. Etter hvert som det blir færre og færre igjen som ikke har vært smittet, vil ikke de som er smittet klare å smitte like mange nye. Dette gjør at eksponenten blir mindre, helt til den blir mindre enn 1. Det betyr i praksis at hver smittet person smitter mindre enn en ny, og viruset vil etter hvert dø ut.
Hva har dette å si for oss i Norge?
Men dette er jo bare tall jeg har funnet på, og har sikkert ikke noen relevans for situasjonen vi ser i Norge i dag. Jeg har basert det følgende på VG sin oppsummering på denne siden
I det følgende, har jeg ikke ofret så mye tankearbeid på de det går bra med. Det er, tross alt, de fleste av oss. Men noen av de som blir smittet, blir alvorlig syke, og må innlegges. Og noen av de som blir innlagt, vil dessverre dø av det. Figuren under viser hvordan en andel av de som smittes blir innlagt, og hvordan en andel av de som blir innlagt dør. I tillegg kan vi se at det går en tid fra en blir smittet til en blir innlagt, og at det går en tid fra en blir innlagt til en dør. Det virker kanskje innlysende, men det er greit å ha illustrert det, siden det er bakgrunnsinformasjon vi bruker når vi begynner å kna på tallene.
Den ulyksalige historien om U. Heldig
For å illustrere og forklare, kan vi se på historien til U. Heldig. U. Heldig blir, som du kanskje allerede har gjettet, smittet av Corona som nummer 500. Jeg har markert ham med en sirkel i grafen under. Etter 5 dager har han blitt så syk at han blir innlagt, og etter 3 dager til, dør han. Figuren under viser hvordan den uheldige kommer inn i de ulike statistikkene på ulikt tidspunkt. Han dukket opp i statistikken for smittede på dag 9, men kommer ikke inn i statistikken for innlagte og døde før på henholdsvis dag 14 og dag 17.
For å kunne sammenligne de ulike grafene, justerer vi kurvene for antall dager vi regner med at det tar fra henholdsvis smitte til innleggelse, og innleggelse til død. Dermed står vi igjen med at forholdet mellom grafene viser sannsynligheten for at en smittet skal bli innlagt, og eventuelt dø.
Tiden frem til 13. mars
La oss starte med å se på tiden frem til 13. mars, da kriteriene for å bli testet ble endret, og hele Norge fikk beskjed om å stenge ned.
Grafen over viser oversikten over antall smittede, slik det så ut den 12. mars. Det var 800 smittede, 26 som var innlagt, og fortsatt ingen døde. Med såpass få som var innlagt, og fortsatt ingen døde, kan det virke drastisk å stenge ned hele samfunnet, slik det ble gjort, men det er altså her eksponentialfunksjoner kan komme til nytte. Ved å tilpasse en eksponentialfunksjon til dataene så får vi den grønne linjen, som vi ser passer skremmende godt til datapunktene.
La oss nå se hva som hadde skjedd dersom denne utviklingen hadde fått lov til å fortsette ut mars. I grafen under, ser vi at det innen utgangen av mars, hadde vært 1,7 millioner smittede i landet. Dersom vi legger til grunn sannsynlighetene jeg kommer til å regne ut senere for sannsynligheten for å bli innlagt, og sannsynligheten for å dø, ville dette bety 170000 sykehusinnleggelser og 22000 dødsfall innen utgangen av mars.
Man skal, som den kinesiske keiseren, ha fulgt særdeles dårlig med i mattetimene, dersom man, på bakgrunn av tallene man hadde til rådighet den 13. mars, hadde konkludert med at det var en god ide å vente å se hvordan dette utvikler seg.
Den eneste oppgaven til et virus er å spre seg så fort som mulig, og til så mange som mulig. Jo flere vi treffer, jo flere muligheter får viruset til å spre seg. Viruset vil fortsette å spre seg helt til det ikke finner flere å smitte, og det skjer ikke før den smittede ikke finner noen nye å smitte. Dette er typisk noe som vil begynne å skje når 60-90% av befolkningen har bygd opp motstandskraft mot viruset. Men det er ikke noe vi trenger å bekymre oss for på en stund enda, Så for å begrense spredningen av viruset nå, har vi ikke andre muligheter enn å redusere omgangen mellom mennesker som potensielt kan smitte hverandre. Den eneste måten å oppnå dette i en befolkning som er vant til at det meste går på skinner, er nok ved å skremme dem litt.
Det er derfor litt betryggende, at noen som hadde fulgt med i timen, ba Erna om å ta rollen til "Skræmmern", for å skremme oss litt skikkelig den 13. mars.
Hvor skræmt ble vi?
Målet med å skremme oss, er åpenbart å få gjort noe med eksponenten i eksponentialfunksjonen, slik at ikke så mange blir syke så fort. Spørsmålet er bare hvor skremt vi ble. Her skjedde det en litt kjedelig ting akkurat samtidig som Erna var ute som skræmmern. Kriteriene for hvem som ble testet ble også endret. Vi vet ikke forholdet mellom hvor mange som ble testet med de nye og de gamle kriteriene. Dermed kan vi ikke sammenligne tallene for smittede etter 13. mars med tallene før 13. mars. For å finne ut om vi ble skremt nok, må vi derfor ty til tall vi kan stole på at ikke har endret seg. Jeg har derfor brukt tallene i sykehusinnleggelser i stedet, siden jeg antar at terskelen for å bli innlagt på sykehus ikke har endret seg i perioden.
Sammenlikner vi kurvetilpasningen for dagene før og 13. mars, så ser de ved første øyekast ikke så forskjellige ut. Men dersom vi drar dem ut i tid, og ser på hva de spår for slutten av mars, så ser vi at forskjellen er dramatisk.
Estimert antall sykehusinnleggelser i slutten av mars har gått fra 91000 (E) til 1300 (D). Tilsvarende tall for dødsfall faller fra 11800 til 169. Dataene fra de siste dagene tyder på at vi alle har blitt "skikkelig skræmt", og at det som var en situasjon som fort kunne kommet helt ut av kontroll, kan være i ferd med å bli til noe som kan bli håndterbar. Det betyr nok ikke at vi kan gå tilbake til normalen enda, siden vi da veldig fort vil komme tilbake til den samme eksponentielle økningen vi startet ut med. Det er foreløpig også uklart om målet er å utrydde viruset helt, eller bare å begrense det fra å spre seg ukontrollert. Men i en hverdag som er preget av dårlige nyheter, er det verdt å ta med seg de lyspunktene en kan finne.
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar